🍰 第一讲：分数、除法与比例

例子：把1个蛋糕平均分成4份，每个人拿1份，那每个人拿到的就是 1/4 个蛋糕。

• 用除法：\(1 ÷ 4 = 0.25\)（个）
• 用分数：\(\frac{1}{4}\)（个）
• 用比：蛋糕总量 : 人数 = 1 : 4，每人得到1份中的1份，所以每人得到 \(\frac{1}{4}\)

• 果汁与总量的比 = \(40 : 200 = 1 : 5\)
• 果汁占总量的分数 = \(\frac{40}{200} = \frac{1}{5}\)
• 用除法求原液占总量的多少：\(40 ÷ 200 = 0.2 = \frac{1}{5}\)

例题1（分数与除法）

题目：把3米长的绳子平均分成5段，每段长多少米？每段占全长的几分之几？

解题思路：

1. 求每段具体长度 → 用除法：\(3 ÷ 5 = 0.6\)（米）或 \(\frac{3}{5}\)（米）
2. 求每段占全长的几分之几 → 把全长看作“1”，平均分成5段，每段是 \(\frac{1}{5}\)

答案：每段长 \(\frac{3}{5}\) 米，每段占全长的 \(\frac{1}{5}\)。

例题2（比例与分数）

题目：六年级男生与女生的人数比是 5 : 4。男生人数是女生人数的几分之几？女生人数是全班人数的几分之几？

解题思路：

1. 把比看成份数：男生5份，女生4份，全班共9份。
2. 男生人数是女生人数的几分之几：\(5 ÷ 4 = \frac{5}{4}\)
3. 女生人数是全班人数的几分之几：\(4 ÷ 9 = \frac{4}{9}\)

答案：\(\frac{5}{4}\)，\(\frac{4}{9}\)。

例题3（综合运用）

题目：一辆汽车3小时行驶180千米。照这样计算，5小时行驶多少千米？（用比例解）

解法一（比例）：速度一定，路程与时间成正比例。

设5小时行驶 \(x\) 千米，则

解法二（除法先求速度）：

速度 = \(180 ÷ 3 = 60\)（千米/时）
路程 = \(60 \times 5 = 300\)（千米）

对比：两种方法本质相同，比例法更直接体现“路程与时间的比不变”。

1.1 把下面的除法算式写成分数和比的形式。
（1）\(7 ÷ 9\) （2）\(12 ÷ 5\)

解题思路：直接利用 \(a ÷ b = \frac{a}{b} = a : b\)。

答案：
（1）\(\frac{7}{9}\)，\(7 : 9\)
（2）\(\frac{12}{5}\)，\(12 : 5\)

1.2 把下面的分数写成除法和比的形式。
（1）\(\frac{3}{8}\) （2）\(\frac{10}{3}\)

解题思路：分子相当于被除数、比的前项；分母相当于除数、比的后项。

答案：
（1）\(3 ÷ 8\)，\(3 : 8\)
（2）\(10 ÷ 3\)，\(10 : 3\)

1.3 把下面的比写成分数和除法算式。
（1）\(5 : 12\) （2）\(8 : 3\)

解题思路：比的前项作分子/被除数，后项作分母/除数。

答案：
（1）\(\frac{5}{12}\)，\(5 ÷ 12\)
（2）\(\frac{8}{3}\)，\(8 ÷ 3\)

2.1 把4千克苹果平均分给7个小朋友，每个小朋友分到多少千克苹果？每个小朋友分到这些苹果的几分之几？

解题思路：
具体重量：总重量÷人数 → \(4 ÷ 7 = \frac{4}{7}\)（千克）
占整体的几分之几：把4千克看作“1”，平均分成7份，每份是 \(\frac{1}{7}\)。

答案：\(\frac{4}{7}\) 千克，\(\frac{1}{7}\)。

2.2 修一条5千米长的公路，8天修完，平均每天修多少千米？平均每天修全长的几分之几？

解题思路：
每天修的长度：\(5 ÷ 8 = \frac{5}{8}\)（千米）
每天修全长的：\(1 ÷ 8 = \frac{1}{8}\)

答案：\(\frac{5}{8}\) 千米，\(\frac{1}{8}\)。

3.1 五（1）班有男生24人，女生20人。
（1）男生人数是女生人数的几分之几？
（2）女生人数是男生人数的几分之几？
（3）男生人数占全班人数的几分之几？

解题思路：求A是B的几分之几 → A ÷ B，用分数表示。

答案：
（1）\(\frac{6}{5}\)
（2）\(\frac{5}{6}\)
（3）\(\frac{6}{11}\)

4.1 根据比例的基本性质，填上合适的数。
（1）\(3 : 5 = 6 : \_\_\)
（2）\(\_\_ : 4 = 9 : 12\)
（3）\(\frac{2}{3} = \frac{x}{9}\)，求 \(x\)。

解题思路：比例中内项积等于外项积。

答案：（1）10；（2）3；（3）\(x=6\)。

5.1 学校把360本图书按3 : 4 : 5分给四、五、六年级，每个年级各分得多少本？

解题思路：总份数 = 3 + 4 + 5 = 12份，每份30本。

答案：四年级90本，五年级120本，六年级150本。

6.1 一幅地图的比例尺是1 : 2000000，甲、乙两地的图上距离是5厘米，实际距离是多少千米？

解题思路：图上1厘米代表实际2000000厘米 = 20千米。

答案：100千米。

7.1（正比例） 用同样的砖铺地，铺12平方米用砖108块。铺25平方米需要多少块砖？

解题思路：每平方米用砖数量一定，面积与砖数成正比例。

答案：225块。

7.2（反比例） 一辆汽车从甲地到乙地，每小时行60千米，4小时到达。如果每小时行80千米，需要几小时到达？

解题思路：路程一定，速度与时间成反比例。

答案：3小时。

8.1 甲、乙两人存款的比是5 : 3，甲给乙200元后，两人存款的比变成3 : 2。原来两人各有多少元？

解题思路：设原来甲有 \(5k\) 元，乙有 \(3k\) 元，列比例方程求解。

答案：甲5000元，乙3000元。

• 看到“平均分” → 用除法或分数。
• 看到“比” → 想份数，设未知数时常用 \(k\) 或按比例分配。
• 看到“比例尺” → 图上距离 : 实际距离，单位要统一。
• 看到“成正比例” → 比值（商）一定；“成反比例” → 积一定。
• 三者转换 → \(a \div b = \frac{a}{b} = a : b\)，灵活运用。